正弦定理と余弦定理の使い分けを徹底解説！練習問題も

正弦定理と余弦定理の使い分けを徹底解説！練習問題も \(\beginb^2 &= c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm\\&= (\sqrt + 1)^2 + (\sqrt)^2 − 2(\sqrt + 1) \sqrt \cos 45^\circ\\&= 3 + 2\sqrt + 1 + 6 − 2(\sqrt + 1) \sqrt \cdot \frac>\\&=

\(\beginb^2 &= c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm\\&= (\sqrt + 1)^2 + (\sqrt)^2 − 2(\sqrt + 1) \sqrt \cos 45^\circ\\&= 3 + 2\sqrt + 1 + 6 − 2(\sqrt + 1) \sqrt \cdot \frac>\\&= 10 + 2\sqrt − 2\sqrt (\sqrt + 1)\\&= 10 + 2\sqrt − 6 − 2\sqrt\\&= 4\end\)

正弦定理と余弦定理の練習問題

練習問題①「sin A を求める」

\(\triangle \mathrm\) について、\(a = 8\)、\(b = 6\)、\(c = 4\) であるとき、\(\sin \mathrm\) の値を求めよ。

\(a\)、\(b\)、\(c\) の \(3\) 辺がわかっているので、 余弦定理 を用いて解く問題ですね！

求めるものが正弦 \((\sin)\) だからと言って、安易に正弦定理を使わないように注意しましょう。

\(\triangle \mathrm\) において、余弦定理より

答え： \(\displaystyle \frac>\)

練習問題②「辺の長さを求める」

\(\triangle \mathrm\) について、\(c = 6\)、\(\angle \mathrm = 15^\circ\)、\(\angle \mathrm = 135^\circ\) のとき、\(a\) を求めよ。

この問題では \(2\) 角がわかっているので、残る \(1\) 角もすぐにわかりますね。

三角形の内角の和は \(180^\circ\) であるから

\(\triangle \mathrm\) において、正弦定理より

答え： \(3\sqrt\)

練習問題③「円に内接する四角形の辺や面積」

(1) 辺 \(\mathrm\) の長さを求めよ。

(2) 四角形 \(\mathrm\) の外接円の半径 \(R\) を求めよ。

(3) 四角形 \(\mathrm\) の面積を求めよ。

四角形に補助線を引いて、 \(2\) つの三角形として見ると、答えが導けます。

設問ごとに、三角形のどの \(4\) つの辺と角が関わっているのかをしっかりと見極めましょう。

\(\begin \angle \mathrm &= 180^\circ − \angle \mathrm \\ &= 180^\circ − 120^\circ \\ &= 60^\circ \end\)

\(\triangle \mathrm\) において、余弦定理より

\(\begin \mathrm^2 &= \mathrm^2 + \mathrm^2 − 2\mathrm \cdot \mathrm \cos 60^\circ \\ &= 4^2 + 6^2 − 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac \\ &= 16 + 36 − 24 \\ &= 28 \end\)

\(\triangle \mathrm\) において、余弦定理より

\(\mathrm^2 = \mathrm^2 + \mathrm^2 − 2 \mathrm \cdot \mathrm \cos 120^\circ\)

\(\displaystyle (2\sqrt)^2 = \mathrm^2 + 2^2 − 2 \mathrm \cdot 2 \left( −\frac \right)\)

\(28 = \mathrm^2 + 4 + 2\mathrm\)

\(\mathrm^2 + 2\mathrm − 24 = 0\)

答え： \(\mathrm = 4\)

(2) \(\triangle \mathrm\) において、正弦定理より

答え： \(\displaystyle R = \frac>\)

(3) 四角形 \(\mathrm\) の面積は、\(\triangle \mathrm\) と \(\triangle \mathrm\) の面積の和に等しい。

三角形の面積の公式 \(\displaystyle S = \frac ab \sin \theta\) より、

\(\begin \triangle \mathrm &= \frac \cdot \mathrm \cdot \mathrm \cdot \sin \mathrm \\ &= \frac \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \\ &= \frac \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac> \\ &= 6\sqrt \end\)

\(\begin \triangle \mathrm &= \frac \cdot \mathrm \cdot \mathrm \cdot \sin \mathrm \\ &= \frac \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ \\ &= \frac \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac> \\ &= 2\sqrt \end\)

したがって、四角形 \(\mathrm\) の面積は

\(\begin \triangle \mathrm + \triangle \mathrm &= 6\sqrt + 2\sqrt \\ &= 8\sqrt \end\)

答え： \(8\sqrt\)

余弦定理は「\(3\) 辺と \(1\) 角の関係」、正弦定理は「対応する \(2\) 辺と \(2\) 角の関係」を見つけることがコツです。

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