電流計・電圧計の仕組み，内部抵抗，分流器

電流計と電圧計の仕組みについて解説します。

いま，この電流計に大きさ n I 1 n I_1 n I 1 ​ の電流が流れてきたとします。このとき，元の電流計は大きさ I 1 I_1 I 1 ​ までしか測定できないため，大きさ I 1 I_1 I 1 ​ の電流が流れます。キルヒホッフの第1法則 (キルヒホッフの法則の解説と例題) より，分流器には大きさ ( n − 1 ) I 1 (n-1) I_1 ( n − 1 ) I 1 ​ の電流が流れます。

r A I 1 = R n A ( n − 1 ) I 1 r_A I_1 = R^A_n (n-1) I_1 r A ​ I 1 ​ = R n A ​ ( n − 1 ) I 1 ​

∴ R n A = r A n − 1 \therefore R^A_n = \dfrac ∴ R n A ​ = n − 1 r A ​ ​

例えば，最大測定範囲を10倍にしたいときは，抵抗値 R 10 A = r A / ( 10 − 1 ) = r A / 9 R^A_ = r_A /(10-1) = r_A / 9 R 10 A ​ = r A ​ / ( 10 − 1 ) = r A ​ /9 の分流器を用意すればよいということになります。

以下のような回路を構成し，抵抗値 R 1 R_1 R 1 ​ の抵抗に加わっている電圧の大きさを測定することを考えます。

理想的な場合，加わっている電圧の大きさ V 0 V_0 V 0 ​ は，キルヒホッフの法則より

V 0 = R 1 R 1 + R 2 V V_0 = \dfrac V V 0 ​ = R 1 ​ + R 2 ​ R 1 ​ ​ V

電圧計は測りたい対象の抵抗と 並列 に接続します。

このとき，電圧計が示す数値 V V V_V V V ​ を考えます。抵抗値 R 1 R_1 R 1 ​ の抵抗および電圧計に流れる電流をそれぞれ I , i I, i I , i とすると，キルヒホッフの第1・第2法則より

R 1 I = r V i R_1 I = r_V i R 1 ​ I = r V ​ i

これらより I , i I, i I , i について解くと

I = r V R 1 r V + R 2 r V + R 1 R 2 V , i = R 1 R 1 r V + R 2 r V + R 1 R 2 V I = \dfrac V, i = \dfrac V I = R 1 ​ r V ​ + R 2 ​ r V ​ + R 1 ​ R 2 ​ r V ​ ​ V , i = R 1 ​ r V ​ + R 2 ​ r V ​ + R 1 ​ R 2 ​ R 1 ​ ​ V

したがって，電圧計が測る電圧 V V V_V V V ​ は

V V = r V i = R 1 r V R 1 r V + R 2 r V + R 1 R 2 V = R 1 R 1 + R 2 + R 1 R 2 r V V V_V = r_V i = \dfrac V = \dfrac> V V V ​ = r V ​ i = R 1 ​ r V ​ + R 2 ​ r V ​ + R 1 ​ R 2 ​ R 1 ​ r V ​ ​ V = R 1 ​ + R 2 ​ + r V ​ R 1 ​ R 2 ​ ​ R 1 ​ ​ V

ここで， r V r_V r V ​ を大きくすればするほど， V V V_V V V ​ は理想値 V 0 V_0 V 0 ​ に近づいていきます。このため，電圧計の内部抵抗は大きければ大きい方が望ましく，理想的な場合では(無限大とみなせるほど)十分大きいと考えてよいというわけです。

大きさ V 1 V_1 V 1 ​ までの電圧を測定できる電流計の測定範囲を n ( ≥ 2 ) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 倍に拡大することを考えます。このとき，接続する倍率器の抵抗 r n r_n r n ​ を求めてみましょう。

まず，以下のように電圧計を取り付けたとき，電圧計の最大測定範囲が V 1 V_1 V 1 ​ であったとします。

このとき，電圧計に流れる電流 i 1 i_1 i 1 ​ は，電圧降下の式より

r V i 1 = V 1 r_V i_1 = V_1 r V ​ i 1 ​ = V 1 ​

∴ i 1 = V 1 r V \therefore i_1 = \dfrac ∴ i 1 ​ = r V ​ V 1 ​ ​

と求められます。電圧計の元々の仕組みは電流計と同じなので，元の電圧計に流してよい最大の電流は i 1 i_1 i 1 ​ となります。

さて，この電圧計の最大測定範囲を n ( ≥ 2 ) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 倍にするため，以下の回路のように，電圧計に抵抗値 R n V R^V_n R n V ​ の倍率器を取り付けることを考えます。

上で求めたように，この電圧計に流すことができる電流の最大値は i 1 i_1 i 1 ​ なので，電圧計には電流 i 1 i_1 i 1 ​ が流れます。オームの法則 (オームの法則と抵抗の性質) より

r V i 1 + R n V i 1 = V 1 + R n V r V V 1 = n V 1 r_V i_1 + R^V_n i_1 = V_1 + \dfrac V_1 = n V_1 r V ​ i 1 ​ + R n V ​ i 1 ​ = V 1 ​ + r V ​ R n V ​ ​ V 1 ​ = n V 1 ​

∴ R n V r V V 1 = ( n − 1 ) V 1 \therefore \dfrac V_1 = (n-1) V_1 ∴ r V ​ R n V ​ ​ V 1 ​ = ( n − 1 ) V 1 ​

∴ R n V = ( n − 1 ) r V \therefore R^V_n = (n-1) r_V ∴ R n V ​ = ( n − 1 ) r V ​

例えば，最大測定範囲を10倍にしたいときは，抵抗値 R 1 V 0 = ( 10 − 1 ) r V = 9 r V R^V_10 = (10-1) r_V = 9 r_V R 1 V ​ 0 = ( 10 − 1 ) r V ​ = 9 r V ​ の倍率器を用意すればよいということがわかります。

• 電流計は電流を測りたいところと直列に接続する。
• 問題文中に明記されていなければ，電流計の内部抵抗の大きさは0とみなしてよい。

• 電圧計は電流を測りたいところと並列に接続する。
• 問題文中に明記されていなければ，電圧計の内部抵抗の大きさは無限大(=電流が流れない)とみなしてよい。