懸垂線の２通りの導出

紐の両端を持ってたらした曲線の式を表す懸垂線の性質を簡単に紹介します。有名曲線カテナリー（懸垂線）の式の導出を２通り紹介します。

注：もし x 0 x_0 x 0 ​ を x 0 + Δ x x_0+\Delta x x 0 ​ + Δ x にしたときに T 0 T_0 T 0 ​ が T 0 ′ T_0' T 0 ′ ​ に変化してしまうと，ひもの x 0 x_0 x 0 ​ から x 0 + Δ x x_0+\Delta x x 0 ​ + Δ x の部分に関して水平方向の釣り合いが成り立ちません。なぜなら，その部分では左側に T 0 T_0 T 0 ​ の力が，右側には T 0 ′ T_0' T 0 ′ ​ の力がかかるからです。よって， T 0 T_0 T 0 ​ は x 0 x_0 x 0 ​ によらず定数です。

d s 2 = d x 2 + d y 2 ds^2=dx^2+dy^2 d s 2 = d x 2 + d y 2 より，

∫ d s s 2 + a 2 = ∫ d x a \int \dfrac>=\displaystyle\int \dfrac ∫ s 2 + a 2

(境界条件は x = 0 x=0 x = 0 で s = 0 s=0 s = 0 )

同様に， d s d y = 1 + ( d x d y ) 2 = s 2 + a 2 s \begin \dfrac &= \sqrt\\ &= \dfrac> \end d y d s ​ ​ = 1 + ( d y d x ​ ) 2

から， ∫ s d s s 2 + a 2 = ∫ d y \int \dfrac>=\displaystyle\int dy ∫ s 2 + a 2

の両辺を積分して y = a 2 + s 2 y=\sqrt y = a 2 + s 2

以上2式より s s s を消去すれば懸垂線の式が得られる。

∫ m g y d s = ρ g ∫ y 1 + y ′ 2 d x \int mgyds=\rho g\int y\sqrtdx ∫ m g y d s = ρ g ∫ y 1 + y ′2

よって， f = y 1 + y ′ 2 f=y\sqrt f = y 1 + y ′2

ただし， f f f は x x x を含まないので，ベルトラミの公式 f − y ′ ∂ f ∂ y ′ = C f-y^\dfrac=C f − y ′ ∂ y ′ ∂ f ​ = C が使える：

∫ C d y y 2 − C 2 = ∫ d x \int \dfrac>=\displaystyle\int dx ∫ y 2 − C 2

y = C cosh ⁡ ( x − A C ) y=C\cosh \left(\dfrac\right) y = C cosh ( C x − A ​ )

特に， x x x 軸対称な場合が重要で，そのときには積分定数は A = 0 A=0 A = 0 となり，目標の式を得る。

x = 0 x = 0 x = 0 から x = t x = t x = t までの長さを L ( t ) L(t) L ( t ) とおく。

曲線の長さを計算する積分公式 より L ( t ) = ∫ 0 t 1 + ( d y d x ) 2 d x L(t) = \int_0^t \sqrt dx L ( t ) = ∫ 0 t ​ 1 + ( d x d y ​ ) 2

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る