曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方

曲率と曲率半径について，感覚的な意味，公式の導出，計算の具体例を解説します。

に， d y d x = d t d x d y d t = y ′ x ′ \dfrac=\dfrac\dfrac=\dfrac d x d y = d x d t d t d y = x ′ y ′ および d 2 y d x 2 = d d x ( y ′ x ′ ) = d t d x d d t ( y ′ x ′ ) = 1 x ′ x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ x ′ 2 \dfrac=\dfrac\left(\dfrac\right)=\dfrac\dfrac\left(\dfrac\right)=\dfrac\dfrac d x 2 d 2 y = d x d ( x ′ y ′ ) = d x d t d t d ( x ′ y ′ ) = x ′ 1 x ′2 x ′ y ′′ − y ′ x ′′ を代入すると得る。

時刻 s s s における速度ベクトルを v ( s ) v(s) v ( s ) とする。

下図を見ると， Δ s \Delta s Δ s が小さい正の数のとき，

∣ v ( s + Δ s ) − v ( s ) ∣ ≒ Δ θ ≒ Δ s R |v(s+\Delta s)-v(s)|\fallingdotseq\Delta\theta \fallingdotseq\dfrac ∣ v ( s + Δ s ) − v ( s ) ∣ ≒ Δ θ ≒ R Δ s

よって， lim ⁡ Δ s → 0 ∣ v ( s + Δ s ) − v ( s ) ∣ Δ s = 1 R \displaystyle\lim_\dfrac=\dfrac Δ s → 0 lim Δ s ∣ v ( s + Δ s ) − v ( s ) ∣ = R 1

曲率半径を求める公式2の導出

曲線の媒介変数表示を ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t),y(t)) ( x ( t ) , y ( t )) とする
s s s を弧長パラメタとする（つまり，曲線上を速度 1 1 1 で進む物体の時刻 s s s における位置が ( x ( s ) , y ( s ) ) (x(s),y(s)) ( x ( s ) , y ( s )) と表せる）
d s d t = ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = x ′ 2 + y ′ 2 \dfrac=\sqrt=\sqrt d t d s = ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 = x ′2 + y ′2 に注意する。

速度ベクトルの x x x 成分は， d x d s = d t d s d x d t = x ′ x ′ 2 + y ′ 2 \dfrac=\dfrac\dfrac=\dfrac> d s d x = d s d t d t d x = x ′2 + y ′2

加速度ベクトルの x x x 成分は， d 2 x d s 2 = d t d s d d t ( x ′ x ′ 2 + y ′ 2 ) = 1 x ′ 2 + y ′ 2 x ′ ′ x ′ 2 + y ′ 2 − x ′ 2 x ′ x ′ ′ + 2 y ′ y ′ ′ 2 x ′ 2 + y ′ 2 x ′ 2 + y ′ 2 = x ′ ′ − x ′ ′ x ′ 2 + y ′ ′ y ′ x ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ 2 + y ′ 2 = x ′ ′ y ′ 2 − x ′ y ′ y ′ ′ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 2 = y ′ ( y ′ x ′ ′ − x ′ y ′ ′ ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 2 \dfrac=\dfrac\dfrac\left(\dfrac>\right)\\ =\dfrac>\dfrac-x'\frac>>\\ =\dfrac>\\ =\dfrac\\ =\dfrac d s 2 d 2 x = d s d t d t d ( x ′2 + y ′2

1 x ′2 + y ′2 x ′′ x ′2 + y ′2

2 x ′ x ′′ + 2 y ′ y ′′ = x ′2 + y ′2 x ′′ − x ′2 + y ′2 x ′′ x ′2 + y ′′ y ′ x ′ = ( x ′2 + y ′2 ) 2 x ′′ y ′2 − x ′ y ′ y ′′ = ( x ′2 + y ′2 ) 2 y ′ ( y ′ x ′′ − x ′ y ′′ )

対称性より y y y 成分は， d 2 y d s 2 = x ′ ( x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 2 \dfrac=\dfrac d s 2 d 2 y = ( x ′2 + y ′2 ) 2 x ′ ( x ′ y ′′ − y ′ x ′′ )

1 R = ( d 2 x d s 2 ) 2 + ( d 2 y d s 2 ) 2 = ∣ x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ ∣ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 \dfrac=\sqrt\\ =\dfrac>> R 1 = ( d s 2 d 2 x ) 2 + ( d s 2 d 2 y ) 2

= ( x ′2 + y ′2 ) 2 3 ∣ x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ∣

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る