技術計算製作所
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Calculation for design

\[ \begin & 2 ( A + B ) & = \left( \frac> + \frac> + \frac> + \frac> \right) \\ & 4 ( B - A )^2 \ & = \left( \frac> - \frac> \right)^2 + \left( \frac> - \frac> \right)^2 \\ & & \qquad \quad + 2 \cos 2 \varphi \left( \frac> - \frac> \right) \left( \frac> - \frac> \right) \end \tag \]

（\( \varphi \)は主曲率半径\( R_, R_ \)を持つ曲面の法断面間角度）

さて、\( z_1 + z_2 \)は負にはならない（負になると突起ができる）ので、AとBはともに正でなければなりません。 従って、\( z_1 + z_2 \)が一定値をとるような点は楕円を形成します。

\[ z_1 + z_2 = A x^2 + B y^2 \] 図3 負荷時の接触面形状

ここで、物体1、2の縦弾性係数を\( E_1, E_2 \)、ポアソン比を\( \nu_1, \nu_2 \)とし、両物体の接触各点に働く圧力を\( P_z(x,y) \)とします。 物体の曲率半径が接触面の境界径よりも十分大きいとき、接触面は平面近似できるので、物体1、2に生じる各点の変位\( u_(x,y), u_(x,y) \ \)は次のように表せます （この関係式は別ページで説明します（準備中））。

\[ u_(x,y) = \frac< 1 - \nu_i ^2> < \pi E_i>\iint \frac< P_z( x', y' ) > < r >dx' dy' \quad ( i=1,2 ) \tag \] \[ \left( r = \sqrt < (x-x')^2 + (y-y')^2 \ >\ \right) \] 積分範囲については、接触域外の圧力\( P_z = 0 \)であることから接触域のみで行います。 （6）式の結果から、接触によって生じる物体1と2の変位の比は一定値をとり、 \[ \frac < u_> < u_> = \frac< ( 1 - \nu_1 ^2 ) E_2 > < ( 1 - \nu_2 ^2 ) E_1 >\tag \] \[ \frac< 1 > < \pi >\left( \frac< 1 - \nu_1 ^2> < E_1 >+ \frac< 1 - \nu_2 ^2> < E_2 >\ \right) \iint P_z( x', y' ) \frac< dx' dy' > < r >= h - A x^2 -B y^2 \tag \]
  • 電荷（または質量分布）によって生じるポテンシャルの型と同じ
  • 一様に電荷を受けている楕円体内部のポテンシャルは座標の2次関数
  • 左辺： \( \displaystyle \iint D P_z( x', y' ) \frac< dx' dy' >< r >\leftrightarrow \iint \sqrt< 1-\frac-\frac> \ \frac< dx'dy' >< r >\)
  • 右辺： \( h - A x^2 -B y^2 \leftrightarrow \displaystyle \frac< \pi a b >< 2 >\int_0^ \left( 1 - \frac- \frac\right) \frac < \sqrt> \)
\[ \left( D = \frac< 1 > < \pi >\left( \frac< 1 - \nu_1 ^2> < E_1 >+ \frac< 1 - \nu_2 ^2> < E_2 >\ \right) \right) \]
  • 接触域の境界：\( \displaystyle \frac+\frac=1 \)（楕円）
  • 圧力分布関数：\(P_z(x,y)= \zeta \sqrt< 1-\displaystyle \frac-\frac> \quad \) （\( \zeta \)は定数）
\[ F = \iint \zeta \sqrt< 1-\displaystyle \frac-\frac> dx dy \tag \] そのためには次の積分を計算する必要があります。

\[ \begin & \iint \sqrt< 1-\frac-\frac > \ dxdy & = \iint \sqrt < 1-t^2 >\ \left| \frac \ \right| \ d\theta dt \\ & & \qquad (x = ta \cos \theta, y= tb \sin \theta ,\frac = -abt) \\ & & = ab\iint t \sqrt < 1-t^2 >\ d\theta dt \\ & & = 2 \pi ab \int_0^1 t \sqrt < 1-t^2 >\ dt \\ & & = \frac \end \]

\[ F = \zeta \frac \ \leftrightarrow \ \zeta = \frac \] が得られ、圧力分布関数\( P_z \)はx,yの二次関数で表せることができました。 \[ P_z(x,y) = \frac\sqrt< 1-\frac-\frac > \tag \]

この結果から、接触部の最大圧力は接触中心で生じ、平均圧力\( F/ \pi ab \)の3/2倍になることがわかります。 しかし、圧力分布関数\( P_z \)は特定されたわけではなく、まだ接触楕円の長径2a、短径2bが決まりません。 そこで（11）式を（8）式に代入し、

\[ D \iint \frac \sqrt< 1-\frac-\frac > \frac< dx' dy' > < r >= h - A x^2 -B y^2 \] さらに左辺の積分項を（9）式のもので書き換えます。 \[ \frac < 4 >\int_0^ \left( 1 - \frac - \frac \right) \frac < \sqrt> = h - A x^2 -B y^2 \tag \] この式は任意のx、yについての恒等式になるため、x、yの係数、定数項がそれぞれ等しくなければなりません。 従って、次の関係が成り立ちます。

F,D,A,Bは既知なため、（13）の上2式の連立方程式からa、bを決まるはずです。 しかし残念ながら、このままではa、bは解けません。 そこでa、bを求めるために、次の補助変数\( \tau \)を導入します。

\[ \cos \tau = \frac< B-A > < A+B >\tag \] これは（5）式により簡単に算出できます。 さらに、この補助変数については完全楕円積分 \[ \begin & F & = \int_0^ \frac < d \theta >< \sqrt< 1 - k^2 \sin ^2 \theta >> \\ & E & = \int_0^ \sqrt < 1 - k^2 \sin ^2 \theta >\ d \theta \end \tag \] を用いて次のように表すこともできます。 \[ \cos \tau = \frac< (2-k^2)E - 2(1-k^2)F > < k^2E >\tag \]

F、Eは第1種と第2種の完全楕円積分で、kを与えることで関数表から値は決まります。 ところが、k自身の決め方がこれではわかりません。 従って、実際の計算ではあらかじめ様々なkに対してF、Eを算出して\( \cos \tau \)をグラフ化したものが準備されていて、（14）式で求めた値と照らし合わせてkを決める、という方法がとられます。 また、kを決める別の方法として、kの値を適当に変化させながら（14）式と（16）式が等しくなるよう反復計算することでも求められます （計算機による数値計算）。

\[ \frac< B-A > < A+B >= \frac< (2-k^2)E - 2(1-k^2)F > < k^2E >\tag \] 以上からkが求まると、ようやく次式によってa、bが定まります。
  • 接触域の圧力分布：\( P_z(x,y) \)
  • 接触域の変位分布：\( u_(x,y) \ (i = x,y ) \)
  • 物体1、2の接近量：\( h \)
  • 接触面積：\( \pi a b \)

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