コイルのエネルギー

コイルのエネルギー 先に，電界中の電荷の位置エネルギーについて述べました．それは電界中で電荷を運ぶことに必要な仕事（電位のセクション，およびコンデンサのエネルギー参照）から求めることができました．磁界のエネルギーについては，磁界をつくる際に電路に与えられる電気的な仕事から磁界のエネルギーを求めることができます．そこで図1-5-17

先に，電界中の電荷の位置エネルギーについて述べました．それは電界中で電荷を運ぶことに必要な仕事（電位のセクション，およびコンデンサのエネルギー参照）から求めることができました．磁界のエネルギーについては，磁界をつくる際に電路に与えられる電気的な仕事から磁界のエネルギーを求めることができます．そこで図1-5-17 のような無限長の筒状電路によって均一な磁界をつくる際のエネルギーを考えます．そのとき磁界のもつエネルギーを単位体積(1m 3 ) あたりの大きさを考えるため，モデルは，断面積 S を1m 2 とし，さらに筒の長さを1m として一部分を切り抜いています．

単位体積(1m 3 )（図の筒状の体積のこと）あたりのエネルギー密度を w [J/m 3 ] としたとき，この磁束をつくる際の電圧を単位面積あたり v [V/m 2 ]，筒の単位長さあたりの電流密度を i [A/m] とすると，仕事は電力（電圧×電流）を時間で積分したものなので次のようになります．

式1-5-51 中の電流密度 i [A/m] は磁界の強さを示す H [A/m] と等価（磁界の強さ H と磁束密度 B を参照）であるので， i を H に置き換えることができます．さらに電路に与える電圧 v は式1-5-39 で与えられます．このときv は単位面積あたりの電圧であるので磁束Φ[Wb] についても，単位面積あたりの磁束である磁束密度 B [Wb/m 2 ] を使用します．すると単位面積あたりの電圧 v は

の関係を得ます．この関係は先に述べた磁性材料の磁化（1-5-2 磁性体セクションを参照）において， B 軸と磁化曲線に挿まれた面積（図1-5-12参照）を示します．よって，この面積が磁性材料の磁化による単位体積あたりもつエネルギーと等しいことがわかります．

さらにこの式1-5-53 を解くと， B = μH の関係よりつぎのようになります．

つづいて自己インダクタンスL のコイルに蓄えられるエネルギーを図1-5-18 の系を使って考えます．図中の はコイルの回路図記号です．コイルに蓄えられるエネルギーも，コイルに対する電気的な仕事から求めることができます．

与える仕事を W [J] とすると次のように示すことができます．

計算上の展開は 正しい （△2訂正：詳細↓）のですが，このご質問には，記事の間違いについてのご指摘（あるいは不要な混乱をさせてしまっている）と推測できましたので解説とともに訂正させてください．

まず，記事の間違い部分については， w=∫HdB 式1-5-53 ここに，B=μHを導入して積分している箇所です．これら両式に間違いはありませんが，μは一般に一定値ではありません．下図参照

ご質問については，μの扱いに注意が必要です． w=n(B^2)/2μ （△2訂正：詳細↓）ですが，空芯コイルで真空の条件において 正しい （△2訂正：詳細↓）ということになります．ご指摘ありがとうございました．

■コイル条件： ・単位長（1m）あたりの巻き数を n[本/m] ・切り出すコイルの長さを l[m] ・切り出すコイルの巻き数をN[本] ・コイルの断面積 S[m 2 ] ・切り出すコイルの自己インダクタンスを L[H] ・コイル中の磁束を Φ[Wb] ・コイル中の磁束密度を B[Wb/m 2 ] ・コイルに流れる電流を I[A]

コイル（N巻き）全体にかかる電圧を v[V]とすると v=NdΦ/dt

ご質問に記載の通りです．さらにコイルの単位長（1m）あたり，コイルの単位断面積 (S=1m 2 )あたりのコイル電圧をv1とすると v1=ndB/dt

よって 断面積 S，コイル長 lのN巻きコイルの vを換算すると v=nl SdB/dt

つづいて電流について コイルの単位長（1m）あたりの電流密度をi[A/m]とすると i=nI

ここで電流密度 i[A/m]は，磁界の強さ H[A/m]と等価ですので次のように置き換えます H=nI

ここで断面積 S，コイル長 lのN巻きのコイルに外部から与えるエネルギーとして，コイル電圧 vと コイル電流 I の時間積分すると w=∫vI dt

ここに上記の v，I を代入すると w=∫nl SdB/dt H/n dt w=lS ∫H dB w=lS (B^2)/2μ0

近似が可能になる理由は，一般にコアは比透磁率の大きい物質を使いますので，コアの比透磁率が，μs >> 1 となり，さらにコイル断面におけるコアの比率が大きい場合に，コア外につくられる磁束がコアに通る磁束に対し相対的にとても小さくなり無視できるるためです．このことからご質問にあったように，コイルの巻き方の違いについても（一重巻きか二重かという違いによらず）大きな差は生じにくくなります．