減衰振動【例題付き】

「減衰振動」について扱います。まず初めに力の向きと符号の確認をします。そして、エネルギー収支をみて物理的な考察をした上で実際に解を求めます。さらに、問題の例を通してより強い解の仮定をして一般解を求めます。

質点にかかる力の大きさを図に赤色で表現してみました。復元力を$kx$、速さに比例した抵抗力を$R$ としました。どちらも力の大きさですので、後で力の働く向きについても考えます。抵抗力の表し方については、参照するテキストによって様々な表現がありますが、速度に比例していることを強調すれば速さを$v=\dot$として、 $\lambda$ とも書けますし、後に運動方程式を楽に解く(式の質量の項$m$などを消す)ことを見越して、 $2m\gamma\dot$ と書いたりします。(このとき、$\gamma$は$\rm^$の次元になります。) まとめると、質点に作用する速さに比例する抵抗力の大きさは、$$R=\lambda=2m\gamma\dot$$と書けます。(ここで「ドット」は時間の微分を表しています。)

次に、運動方程式を立てるために、力の向きを考えてみます。今、図に書き入れた$x$軸は右向きが正の値となっています。これに合わせて、右向きの力なら正の値で、左向きの力なら負の値で表現することになります。復元力は向き付きで、もちろん$-kx$です。

速度に比例した抵抗力は、正の方向に移動しているとき、すなわち速度が$\dot>0$のときには左向きの力$-\lambda\dot$$の両辺に$\Delta$を掛けて、$$\therefore\simeq$$の関係から、「関数の時間微分$f^(t)$の符号」と「関数の値の増減$f(t+\Delta)-f(t)$」に対応があることが分かります。例えば、 $$f^(t)>0\Rightarrowf(t+\Delta)>f(t)$$であり、微分係数が正のとき、関数$f(t)$は増加します。ここで、$f(t)=mv(t)$とおけば、それは運動量であり、その時間的な変化は力$f$によって決まるというのが運動方程式の意味しているところです。

では、これと同じ形の、「”何か”の時間変化が外界からの作用で生じる」という式を新たに探してみたいのですが、ここでは運動方程式$(*)$の両辺に$\dot$を内積してみましょう。$$m\dot\ddot=-kx\dot-\lambda()^2$$ドットの表記をやめて(ラグランジュ記法に変えて)、左辺は$\dot=v$とすると、$$mv\frac=-kx\frac-\lambda()^2\ \ \cdots(A)$$となります。ここで、運動エネルギー$ \dfracm\^2 $と弾性エネルギー$ \dfrackx(t)^2 $をそれぞれ時間$t$で微分すると、合成関数の微分を使って、$$\frac\bigg(\fracmv(t)^2\bigg)=\frac\bigg(\fracmv(t)^2\bigg)\frac=mv(t)\frac$$ $$\frac\bigg(\frackx(t)^2\bigg)=\frac\bigg(\frackx(t)^2\bigg)\frac=kx(t)\frac$$という形になります。一番右の式の形が先程の式$(A)$に現れているので、この合成関数の微分を右から左へ辿れば、「”何か”(ここでは運動エネルギーと弾性エネルギーの和)の時間変化」を式に顕に書くことができます。結局、式$(A)$を書き換えると次のようになります。

大きい丸括弧の中は、運動エネルギーと弾性エネルギーの和なので、この系の力学的エネルギーになっています。それに$ \dfrac $が付いているため、左辺は「力学的エネルギーの変化」を表しています。その変化を起こす原因である右辺は「抵抗の(単位時間あたりの)仕事」を表しています。ここで右辺は２乗が入っていることから全体で必ずマイナスの値なので、それと＝で結ばれている左辺は必ずマイナスであり、系の力学的エネルギーはどんどんと抵抗量の仕事によって散失していくことが読み取れます。

なお、減衰に寄与する成分がなければ( $\lambda=0$なら )上の式は、

の力学的エネルギーの保存が導かれます。

ここまでのまとめ 運動方程式 $m\ddot=-kx-\lambda$ の両辺に速度 $v=\dot$ を内積すると、$$mv\frac=-kx\frac-\lambda()^2\ \ \cdots(A)$$となり、加速度由来の項は運動エネルギーの時間変化、復元力由来の項は弾性エネルギーの時間変化へ書き換えられるので、結局、運動方程式から$$\frac\bigg(\fracmv^2+\frackx^2\bigg)=-\lambda(\dot)^2$$が導ける。この式を見れば、力学的エネルギーが抵抗力の仕事により散失していくことがわかる。

運動方程式に解を仮定して代入する

起こる現象のおおよその検討がついたところで、実際に解を求めてみます。運動方程式は、

$$m\ddot=-kx-\lambda\ \ \cdots(*)$$であり、抵抗力の比例係数$\lambda$を、式を綺麗にするために$\lambda=2m\gamma$と置き換えると、$$m\ddot=-kx-(2m\gamma)$$ここで、「$2$」を付けたのは、結局後で２次方程式に帰着させるので解くのが楽になるためです。両辺を$m$で割って、式を左辺に寄せ集めると、$$\ddot+2\gamma\dot+\fracx=0$$となります。この式において、$\gamma=0$ (抵抗なし)とすると、角振動数 $\omega_0=\sqrt$の単振動の運動方程式になります。この$\omega_0$を使って書き換えると、$$\ddot+2\gamma\dot+\omega_0^2x=0$$となります。この微分方程式は２階の方程式なので、一般解を求めるために、２つの一次独立な解を探す必要があります。(詳しくは→「初めての微分方程式」)

この微分方程式の$ x $に代入して成立する解を求めれば良いのですが、ここでは指数関数の形の解:$$x(t)=e^>$$を想定してみます。この想定が正しければ、２つ$e^>$の定数倍の足し合わせで全ての解を表現することができます。実際に式へ代入すると、$$(\alpha^2+2\gamma\alpha+\omega_0^2)e^>=0$$となります。このとき、別な関数を仮定していたらここの代入が大変になって、その上$e^>$で括ることはできない面倒さが生じます。まずはよくわからない微分方程式の解を探る上で、微分が楽なやり方で探してみる、というのがここで解を指数関数だと仮定した１つのモチベーションです。一度この解き方を経験しておくと、実は解はもう少し詳しく予想できます。そのやり方で解くともっと楽に、統一的にできます。(この記事の最後の方で例題として扱いました。)別なアプローチとしては、↓のような記事もあります。

ここで、$e^>=0$はこの方程式を満たしますが、それだと$x(t)=0$となり、原点(バネの自然長)で止まっているだけで何からも力を受けないというクソつまらない解が出て来るので、ここでは$e^>\neq0$として解きましょう。従って、$$\alpha^2+2\gamma\alpha+\omega_0^2=0$$となり、これは $\alpha$が複素数の範囲で必ず２つの解が存在するので、当初の目的だった、２つの独立な解が求められそうです。解の公式から、$$\alpha=-\gamma\pm\sqrt$$と求まります。ここで、この $\alpha$が実数なのか、複素数なのか考えるのは非常に重要です。今は、解を$$x(t)=e^>$$と仮定しているため、$\alpha$が実数となる、 $\gamma>\omega_0$の場合には、(これは抵抗由来の文字である$\gamma$が振動の成分$\omega_0$よりも大きい場合。)$$\alpha=-\gamma\pm(\gamma\text)$$と置き直すと、$$\alpha=-\gamma\pm\omega_1$$となり、今度は解が$e$の複素数乗となるので、振動する解になります。(指数関数と三角関数は親戚関係みたいなもので、$e^=\cos\theta+i\sin\theta$という等式で、指数の肩に複素数を乗せると三角関数になります。) こちらが、「減衰振動」に対応します。ここら辺で一旦まとめましょう。

ここまでのまとめ 運動方程式$ m\ddot=-kx-\lambda $において、抵抗成分を$\lambda=2m\gamma$、(抵抗がない場合の)角振動数を$\omega_0=\sqrt$とおくと、$$\ddot+2\gamma\dot+^2x=0$$のようにまとめられる。ここで、解を$$x(t)=e^>$$と仮定して代入すれば、$e^>\neq0$として、$$\alpha^2+2\gamma\alpha+\omega_0^2=0$$より、$$\alpha=-\gamma\pm\sqrt$$ここで、$\gamma>\omega_0$の場合(過減衰)には、$\alpha$が負の実数となるために、急速に減衰していく振動しない解が得られ、一方、$\gamma$$と仮定して代入すれば、$e^>\neq0$として、$$\alpha^2+2\gamma\alpha+\omega_0^2=0$$より、$$\alpha=-\gamma\pm\sqrt$$ここで、$\gamma>\omega_0$の場合(過減衰)には、$\alpha$が負の実数となるために、急速に減衰していく振動しない解が得られ、一方、$\gamma