【3次方程式の解と係数の関係】証明・覚え方・使い方を完全マスター！【基本・応用問題つき】

【3次方程式の解と係数の関係】証明・覚え方・使い方を完全マスター！【基本・応用問題つき】 $ =$ $ \left( \alpha^2 \beta + \alpha \beta \gamma + \gamma \alpha^2 \right) + \left( \alpha \beta^2 + \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma \right) \\

$ =$ $ \left( \alpha^2 \beta + \alpha \beta \gamma + \gamma \alpha^2 \right) + \left( \alpha \beta^2 + \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma \right) \\ + \left( \alpha \beta \gamma + \beta \gamma^2 + \gamma^2 \alpha \right) − \alpha \beta \gamma $

$ =$ $ \alpha \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \right) + \beta \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma \right) \\ + \gamma \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \right) − \alpha \beta \gamma $

$ = \left( \beta \gamma + \alpha \beta + \gamma \alpha \right) ( \alpha + \beta + \gamma ) − \alpha \beta \gamma $

というわけで、もう少しラクに解ける別解もあります。

【別解】を見る

$ (\alpha+\beta) (\beta+\gamma) (\gamma+\alpha) $

$ \displaystyle < = \left( −− \gamma \right) \left(− − \alpha \right) \left(− −\beta \right) > $

$ \displaystyle < = −\left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) > $ ・・・（注）

$ \displaystyle < = −\left( 9 + 6 \gamma + 6 \alpha + 4 \gamma \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) > $

$ $ $ \displaystyle < \left( −− \gamma \right) \left(− − \alpha \right) \left(− −\beta \right) > $

$ \displaystyle < = \left\< −\left( 3 + 2 \gamma \right) \right\> \left\ \left\ < −\left( 3 + 2 \beta \right) \right\> > $

$ \displaystyle < = \left( −\right)^2 \left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) > $

$ \displaystyle < = −\left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) > $

分数が入って混乱しそうなときは、いったん $ \displaystyle < = t >$ と置きかえて

$ $ $ \displaystyle < \left( −− \gamma \right) \left(− − \alpha \right) \left(− −\beta \right) > $

$ \displaystyle < = − \left( + \gamma \right) \left( + \alpha \right) \left( + \beta \right) > $

【3次方程式の解と係数の関係】応用問題

次は「 3次方程式の 解と係数の関係 」の 応用問題 です。

【例題2】正の数 $x, \ y, \ z $ が、3条件 $ \displaystyle < + + = > , $ $ \displaystyle < x^2 + y^2 + z^2 = 41 >, $ $ xyz = 12 $ をみたす。

(1) $ xy + yz + zx $ の値を求めよ。

(2) $ x + y + z $ の値を求めよ。

(3) $ x ≦ y ≦ z $ であるとき、 $x, \ y, \ z $ の値を求めよ。 [類 14 岡山理科大]

(1) $ xy + yz + zx $ の値を求めよ。 【解答】を見る (2) $ x + y + z $ の値を求めよ。 【解答】を見る

$ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) $

$ $ $ = 41 + 2 \cdot 20 $（②、④ を代入）

(3) $ x ≦ y ≦ z $ であるとき、 $ x, \ y, \ z $ の値を求めよ。

【解答】を見る

解と係数の関係より、$ x, \ y, \ z $ は、3次方程式 $ t^3 −9t^2 + 20t − 12 = 0 $ の3つの解である。

∴ $ (t−1) \ (t^2 −8t + 12) = 0 $ ・・・（注）

$ $ $ ( x, \ y, \ z ) = ( 1, \ 2, \ 6 ) $

（注） 3次方程式 $ t^3 −9t^2 + 20t − 12 = 0 $ は $t=1$ を解にもつので、因数定理より

$ $ $ t^3 −9t^2 + 20t − 12 $ は $(t-1)$ を因数にもつ。つまり、$(t-1)$ で割り切れる。

【まとめ】3次方程式の解と係数の関係

最後に「 3次方程式の 解と係数の関係 」をまとめておきます。

3次方程式 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ の 3つの解を $ \alpha, \ \beta, \ \gamma $ とすると

1つ目（和）と 3つ目（積）に「$ \color $」をつけること！

参考：2次方程式の解と係数の関係

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参考：3次方程式が虚数解をもつパターンの問題

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高3 横浜国立大・名古屋大・慶應大合格など

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