リサージュ曲線の定義とそれに関連する話

リサージュ曲線の定義を述べ，それに関連して，概形の描き方，振動数の比による分類，現実世界で現れる例，3次元に拡張したリサージュ曲線について説明します。

まず最初に対称性がないかを確認します。 θ → π + θ \theta \to \pi + \theta θ → π + θ とした時に， x ( π + θ ) = − 3 sin ⁡ θ = − x ( θ ) x(\pi + \theta) = -3\sin\theta = -x(\theta) x ( π + θ ) = − 3 sin θ = − x ( θ ) また， y ( π + θ ) = 2 sin ⁡ ( 2 π + 2 θ + π 6 ) = 2 sin ⁡ ( 2 θ + π 6 ) = y ( θ ) \begin y(\pi + \theta) &= 2\sin\left(2\pi + 2\theta + \dfrac\right) \\ &= 2\sin\left( 2\theta + \dfrac\right) = y(\theta) \end y ( π + θ ) ​ = 2 sin ( 2 π + 2 θ + 6 π ​ ) = 2 sin ( 2 θ + 6 π ​ ) = y ( θ ) ​ となります。よって， 0 ≦ θ ≦ π 0 \leqq \theta \leqq \pi 0 ≦ θ ≦ π の間で概形を描いて，それを x x x 軸に関して対称移動させれば良いです。これらを微分すると，

⎧ ​ d θ d x ​ = 3 cos θ d θ d y ​ = 4 cos ( 2 θ + 6 π ​ ) ​

θ 0 ⋯ π 6 ⋯ π 2 ⋯ 2 3 π ⋯ π d x d θ + + + + 0 − − − − d y d θ + + 0 − − − 0 + + ( x , y ) ( 0 , 1 ) ↗ ( 3 2 , 2 ) ↘ ( 3 , − 1 ) ↙ ( 3 3 2 , − 2 ) ↖ ( 0 , 1 ) \begin \theta &0& \cdots & \dfrac& \cdots &\dfrac& \cdots &\dfrac\pi & \cdots &\pi\\ \hline \dfrac & + & + & + & + & 0 & -& -& -& - \\ \hline \dfrac & + & + & 0 & - & - & -& 0& +& + \\ \hline (x,y) & (0,1) & \nearrow & \left(\dfrac, 2\right) & \searrow & (3,-1)& \swarrow & \left(\dfrac,-2\right) & \nwarrow & (0,1) \end θ d θ d x ​ d θ d y ​ ( x , y ) ​ 0 + + ( 0 , 1 ) ​ ⋯ + + ↗ ​ 6 π ​ + 0 ( 2 3 ​ , 2 ) ​ ⋯ + − ↘ ​ 2 π ​ 0 − ( 3 , − 1 ) ​ ⋯ − − ↙ ​ 3 2 ​ π − 0 ( 2 3 3

​ ​ , − 2 ) ​ ⋯ − + ↖ ​ π − + ( 0 , 1 ) ​ ​

よって， 0 ≦ θ ≦ 2 π 0 \leqq \theta \leqq 2\pi 0 ≦ θ ≦ 2 π の範囲で概形を描くと以下の通りになります。

x ≧ 0 x \geqq 0 x ≧ 0 の部分の面積を計算して2倍すればよい。 x ≧ 0 x \geqq 0 x ≧ 0 の部分の面積を S S S とおく。

S = ∫ − 2 2 x d y − ∫ 1 2 x d y − ∫ − 2 1 x d y S = \int_^ x dy - \int_1^2 x dy - \int_^1 x dy S = ∫ − 2 2 ​ x d y − ∫ 1 2 ​ x d y − ∫ − 2 1 ​ x d y である。

θ \theta θ に変数を置き換える。 d y = 4 cos ⁡ ( 2 θ + π 6 ) d θ = ( 2 3 cos ⁡ 2 θ − 2 sin ⁡ 2 θ ) d θ \begin dy &= 4 \cos \left( 2\theta + \dfrac \right) d\theta\\ &= (2\sqrt \cos 2\theta - 2\sin 2\theta) d\theta \end d y ​ = 4 cos ( 2 θ + 6 π ​ ) d θ = ( 2 3

​ cos 2 θ − 2 sin 2 θ ) d θ ​ であるため，被積分関数は x d y = 3 sin ⁡ θ ( 2 3 cos ⁡ 2 θ − 2 sin ⁡ 2 θ ) d θ = 6 ( 3 sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ − sin ⁡ θ sin ⁡ 2 θ ) d θ = 3 ( 3 sin ⁡ 3 θ − 3 sin ⁡ θ + cos ⁡ 3 θ − cos ⁡ θ ) d θ \begin xdy &= 3\sin \theta (2\sqrt \cos 2\theta - 2\sin 2\theta) d\theta\\ &= 6 (\sqrt \sin \theta \cos 2\theta - \sin \theta \sin 2\theta) d\theta\\ &= 3 (\sqrt \sin 3\theta - \sqrt \sin \theta + \cos 3\theta - \cos \theta) d\theta \end x d y ​ = 3 sin θ ( 2 3

​ cos 2 θ − 2 sin 2 θ ) d θ = 6 ( 3

​ sin θ cos 2 θ − sin θ sin 2 θ ) d θ = 3 ( 3

​ sin θ + cos 3 θ − cos θ ) d θ ​ となる。

1. 1項目 ∫ − 2 2 x d y = ∫ 2 3 π π 6 3 ( 3 sin ⁡ 3 θ − 3 sin ⁡ θ + cos ⁡ 3 θ − cos ⁡ θ ) d θ = − 3 [ − 3 3 cos ⁡ 3 θ + 3 cos ⁡ θ + 1 3 sin ⁡ 3 θ − sin ⁡ θ ] π 6 2 3 π = 4 + 4 3 \begin &\int_^2 xdy\\ &= \int_\pi>^ 3 (\sqrt \sin 3\theta - \sqrt \sin \theta + \cos 3\theta - \cos \theta) d\theta\\ &= -3\Big[ -\dfrac\cos 3\theta + \sqrt \cos \theta + \dfrac\sin 3\theta - \sin \theta \Big]_^\pi>\\ &= 4+4\sqrt \end ​ ∫ − 2 2 ​ x d y = ∫ 3 2 ​ π 6 π ​ ​ 3 ( 3 ​ sin 3 θ − 3 ​ sin θ + cos 3 θ − cos θ ) d θ = − 3 [ − 3 3 ​ ​ cos 3 θ + 3 ​ cos θ + 3 1 ​ sin 3 θ − sin θ ] 6 π ​ 3 2 ​ π ​ = 4 + 4 3 ​ ​
2. 2項目

∫ 1 2 x d y = ∫ 0 π 6 3 ( 3 sin ⁡ 3 θ − 3 sin ⁡ θ + cos ⁡ 3 θ − cos ⁡ θ ) d θ = 3 [ − 3 3 cos ⁡ 3 θ + 3 cos ⁡ θ + 1 3 sin ⁡ 3 θ − sin ⁡ θ ] 0 π 6 = 2 − 2 3 \begin &\int_1^2 xdy\\ &= \int_^ 3 (\sqrt \sin 3\theta - \sqrt \sin \theta + \cos 3\theta - \cos \theta) d\theta\\ &= 3\Big[ -\dfrac \cos 3\theta + \sqrt \cos \theta + \dfrac \sin 3\theta - \sin \theta \Big]_0^\\ &= 2-2\sqrt \end ​ ∫ 1 2 ​ x d y = ∫ 0 6 π ​ ​ 3 ( 3

​ sin θ + cos 3 θ − cos θ ) d θ = 3 [ − 3 3

​ cos θ + 3 1 ​ sin 3 θ − sin θ ] 0 6 π ​ ​ = 2 − 2 3

∫ − 2 1 x d y = ∫ 2 3 π π 3 ( 3 sin ⁡ 3 θ − 3 sin ⁡ θ + cos ⁡ 3 θ − cos ⁡ θ ) d θ = 3 [ − 3 3 cos ⁡ 3 θ + 3 cos ⁡ θ + 1 3 sin ⁡ 3 θ − sin ⁡ θ ] 2 3 π π = 2 3 \begin &\int_^1 xdy\\ &= \int_ \pi>^ 3 (\sqrt \sin 3\theta - \sqrt \sin \theta + \cos 3\theta - \cos \theta) d\theta\\ &= 3\Big[ -\dfrac \cos 3\theta + \sqrt \cos \theta + \dfrac \sin 3\theta - \sin \theta \Big]_ \pi>^\\ &= 2\sqrt \end ​ ∫ − 2 1 ​ x d y = ∫ 3 2 ​ π π ​ 3 ( 3

​ sin θ + cos 3 θ − cos θ ) d θ = 3 [ − 3 3

​ cos θ + 3 1 ​ sin 3 θ − sin θ ] 3 2 ​ π π ​ = 2 3

以上より S = ( 4 + 4 3 ) − ( 2 − 2 3 ) − 2 3 = 4 3 + 2 \begin S &= (4+4\sqrt) - (2-2\sqrt) - 2\sqrt\\ &= 4\sqrt + 2 \end S ​ = ( 4 + 4 3

​ + 2 ​ であるため，求める面積は 8 3 + 4 \mathbf+4> 8 3

リサージュ曲線 < x = A sin ⁡ ( a θ + δ ) y = B sin ⁡ ( b θ ) \beginx = A\sin (a\theta + \delta)\\ y = B\sin (b\theta) \end < x = A sin ( a θ + δ ) y = B sin ( b θ ) ​ において，振動数の比 b a \dfrac a b ​ が有理数のとき，リサージュ曲線はどこかのタイミングで開始点に戻ってくる閉曲線になる。

例えば，前節の < x ( θ ) = 3 sin ⁡ θ y ( θ ) = 2 sin ⁡ ( 2 θ + π 6 ) \beginx(\theta) = 3 \sin \theta\\ y(\theta) = 2 \sin \left(2\theta + \dfrac\right) \end < x ( θ ) = 3 sin θ y ( θ ) = 2 sin ( 2 θ + 6 π ​ ) ​ において，振動数の比は 1 2 \dfrac 2 1 ​ であるので， x x x が 1 1 1 回振動し， y y y が 2 2 2 回振動すると，開始点に戻ってきます。

また， < x ( θ ) = 5 sin ⁡ 4 θ y ( θ ) = 6 sin ⁡ ( 12 θ + π 3 ) \beginx(\theta) = 5 \sin 4\theta\\ y(\theta) = 6 \sin \left(12\theta + \dfrac\right) \end < x ( θ ) = 5 sin 4 θ y ( θ ) = 6 sin ( 12 θ + 3 π ​ ) ​ において，振動数の比は 4 12 = 1 3 \dfrac = \dfrac 12 4 ​ = 3 1 ​ であるから， x x x が 1 1 1 回振動し， y y y が 3 3 3 回振動すると，開始点に戻ってきます。このように振動数どうしが公約数を持っているほど，開始点に戻ってくるのは早くなります。 概形は以下のようになります。

よって例えば， < x ( θ ) = 2 sin ⁡ 10 θ y ( θ ) = 3 sin ⁡ 11 θ \beginx(\theta) = 2 \sin 10\theta\\ y(\theta) = 3 \sin 11\theta \end < x ( θ ) = 2 sin 10 θ y ( θ ) = 3 sin 11 θ ​ を考えると，振動数の比は 10 11 \dfrac 11 10 ​ であるから， x x x が 10 10 10 回振動し， y y y が 11 11 11 回振動しなければ，閉曲線になりません。点は長い時間新しい場所を振動します。概形は以下のようになります。

リサージュ曲線 < x = A sin ⁡ ( a θ + δ ) y = B sin ⁡ ( b θ ) \beginx = A\sin (a\theta + \delta)\\ y = B\sin (b\theta) \end < x = A sin ( a θ + δ ) y = B sin ( b θ ) ​ において，振動数の比 b a \dfrac a b ​ が無理数のとき，リサージュ曲線は閉曲線にならない。

閉曲線にならないということは， θ \theta θ が増えるにつれて，点は今まで通ったことのない領域を通り続けます。また， x x x は常に − A ≦ x ≦ A -A \leqq x \leqq A − A ≦ x ≦ A , y y y は常に − B ≦ y ≦ B -B \leqq y \leqq B − B ≦ y ≦ B を動き続けます。よって無限に θ \theta θ を大きくしていけば，縦 2 A 2A 2 A , 横 2 B 2B 2 B の平行四辺形を塗りつぶすように点が動くと予想されます。このことについての一般的な証明は難しいので話題にあげる程度に留めておきますが，例をみてみると面白いです。

⎧ ​ x ( θ ) = 2 sin ( θ + 4 π ​ ) y ( θ ) = sin ( 2

​ θ + 6 π ​ ) ​ を例にとって， θ \theta θ を 0 0 0 から動かしていくと，以下のようになります。

つまり，横には長さが L 1 L_1 L 1 ​ の振動をします。上の2本の糸は振動に関与しません。よって周期は，物理で習う公式を利用すれば，重力加速度 g g g を使って 2 π L 1 g 2\pi \sqrt> 2 π g L 1 ​ ​

縦には長さが L 2 L_2 L 2 ​ の振動します。周期は， 2 π L 2 g 2\pi \sqrt> 2 π g L 2 ​ ​

L 1 , L 2 L_1,L_2 L 1 ​ , L 2 ​ の長さは違うので，周期も異なります。一般には横と縦の振動の重ね合わせの運動をするはずですので，まさしくこれはリサージュ曲線を描きます。

⎧ ​ x = 5 3 ​ cos ( 2 θ + 6 π ​ ) y = 10 9 ​ cos θ ​ で表されるような振り子の運動は以下のようになります。

3次元においても，媒介変数表示を使ってリサージュ曲線を同様に表せます。例えば， < x = 2 sin ⁡ ( 2 θ + π 6 ) y = 3 sin ⁡ ( 4 θ ) z = 4 sin ⁡ ( 3 θ + π 4 ) \beginx = 2\sin \left(2\theta + \dfrac\right)\\ y = 3\sin (4\theta)\\ z = 4\sin \left(3\theta + \dfrac\right)\\ \end ⎩

⎧ ​ x = 2 sin ( 2 θ + 6 π ​ ) y = 3 sin ( 4 θ ) z = 4 sin ( 3 θ + 4 π ​ ) ​ は，空間上で次のような図形になります。

⎧ ​ x = 2 sin ( 2 θ ) y = 3 sin ( 2

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。 受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。 大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。 学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。

• リサージュ曲線の定義
• リサージュ曲線の概形を手計算で描いてみる
• リサージュ曲線で囲まれた領域の面積
• 振動数の比が有理数だと閉曲線になる
• 振動数の比が無理数だと閉曲線にならない
• 現実世界で現れるリサージュ曲線
• 3次元空間におけるリサージュ曲線