クオータニオンの微分の解説と導出

概要この記事では、クオータニオンの微分を式と行列の形式で導出する。その際、以下の記事で述べた内容を前提とするため、適...

と書き、 $\mathbf(t+\Delta t)$ は $\mathbf(t)$ による回転を行った後、さらに $\Delta\mathbf$ の回転を加えたもの、と見る。 $\mathbf(t)$ による回転を行った後、ベクトル部のみから成るクオータニオン $\mathbf>$ によって表現される軸まわりに $\Delta\alpha$ だけ回転する操作が $\Delta\mathbf$ に相当すると考えると、この回転は

$\theta$ が小さい時、 $\cos\theta\simeq 1, \sin\theta\simeq\theta$ と近似できるので

クオータニオンの時間微分

極限を用いた導出（点を回転するクオータニオン）

となる。ここで、 $\bar$ はベクトル部のみから成るクオータニオンであり、点の回転の角速度 $\omega$ を用いて

と定義した。以上より、角速度 $\omega$ で回転する点の回転クオータニオンの微分は

微分の行列表現複素共役クオータニオンの微分

両辺に右から $\mathbf^$ を掛けて

$$\frac[\mathbf^*(t)]=-\frac\begin 0 & \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \\ \omega_1 & 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_2 & \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ \omega_3 & -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end\begin q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end$$

$$=-\frac\begin q_0 & q_1 & q_ & q_ \\ -q_ & q_0 & q_3 & -q_ \\ -q_ & -q_ & q_0 & q_ \\ -q_ & q_ & -q_ & q_0 \end\begin 0 \\ \omega_ \\ \omega_ \\ \omega_ \end$$

座標を回転するクオータニオンの微分

点を回転する場合（Fig. 1）と同じクオータニオンを用いて座標を回転する（Fig. 2）操作は、

$$\mathbf(t+\Delta t)=\mathbf^*(t+\Delta t)\mathbf\mathbf(t+\Delta t)$$

$$\frac[\mathbf^*(t)]=-\frac\begin 0 & \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \\ \omega_1 & 0 & \omega_3 & -\omega_2 \\ \omega_2 & -\omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_3 & \omega_2 & -\omega_1 & 0 \end\begin q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end$$

$$=-\frac\begin q_0 & q_1 & q_ & q_ \\ -q_ & q_0 & -q_3 & q_ \\ -q_ & q_ & q_0 & -q_ \\ -q_ & -q_ & q_ & q_0 \end\begin 0 \\ \omega_ \\ \omega_ \\ \omega_ \end$$

もっと知りたいこと、感想を教えてください！

＼気軽にコメントください！／コメントをキャンセル役に立つと感じたら、シェアしてください！新しい記事を見逃さないために、Shuntaro OHNOをフォローしてください！ U-知能デバイス研究所

次に読む記事左上がオススメです

クオータニオンの定義と性質概要この記事では、クオータニオン（Quaternion: . クオータニオン（四元数）による回転表現概要物体の回転角を表す方法としては、「X軸まわりに◯度、Y. クオータニオンによる3次元空間での回転概要この記事では、クオータニオン（四元数）を用いて3次元空. 【PR】電子工作したい人、必見！

Rust xRuspberry Pi Pico本気の組み込み開発

U-知能デバイス研究所（旧：艮電算術研究所）所長神経科学者 / 医師 / 博士(医学) / 統計検定１級

・Rustによる暗号化サーバ設計・UnityによるVR/ARゴーグルアプリ開発・企業向けのデータサイエンス技術研修・官公庁主催のハッカソンでの技術指導