固有値方程式にについて

このページでやること 固有値方程式について 行列とベクトルの固有値方程式について 固有値方程式の解き方 固有値方程式はその方程式が成り立つ条件(いろいろ式変形して行列式が0になる). から固有値をまず出します. 次に固有値方程式に固有値を代入して固有ベクトルを求める. それで固有値,固有ベクトル両方OKって感じ 固有値方程式について 固有値方程式は最近は量子力学で演算子のバージョンをつかってきたはず. でがハミルトニアン演算子でがエネルギー固有値なのです. 固有値方程式はその前の線形代数でも出てます. 行列の固有値は で左の行列が量子力学での演算子,ベクトルが波動関数,λが固有値です. そして…

一般にベクトルに行列をかけても上のような固有値方程式になりません.(行列をかけて元の定数倍のベクトルに一般にはならない.) しかしベクトルをうまくとると その行列を作用させたときに定数倍のベクトルになる.というベクトルをうまくとることができます. このときのベクトルと定数を行列の固有ベクトル,固有値というのです.

今回使う行列を ,固有ベクトルを ,固有値を とします.

このときの左辺は0って書いてるけど0ベクトルのことです. そしてこれを でくくると

は自明(trivial)な(そりゃそうだこんなの意味ねえよっていう)解になる. では非自明(nontrivial)な解(意味のある解)はどうするのか. 非自明な解を持つ条件から求める. その条件は が逆行列を持たない つまり の行列式(det)が0( )となる. というのが条件になるのです. 逆行列を持たない理由,逆行列を持たないが行列式が0ということになる理由は physicsmashiro.hatenablog.com に書いておく. わかる. もしくは後で読むからいまはこの認めて進む. というときは飛ばしてもいい.

となる. これを解けばまず固有値 が求まる. 一般に固有値はその次元の数だけある.

これもあとは代入して解くだけなので大丈夫だとおもう. 2次元だから普通の連立方程式だと思っても解けるから大丈夫. これを例えば での2つの場合で解く.