円周角の定理とその逆の証明

円周角の定理・円周角の定理の逆は中学数学の範囲で学習するもので，高校数学でも頻出ですが，証明は分からないという人もいると思います。この記事では円周角の定理とその逆の証明をします。

「円周角の定理1： 円周角＝中心角の半分 」より ∠ A C B = 1 2 ∠ A O B ∠ A D B = 1 2 ∠ A O B \angle ACB = \dfrac\angle AOB\\ \angle ADB = \dfrac\angle AOB ∠ A CB = 2 1 ​ ∠ A OB ∠ A D B = 2 1 ​ ∠ A OB よって， ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB =\angle ADB ∠ A CB = ∠ A D B

円周角の定理は「 (円ならば)円周角は等しい 」と解釈できます。実は，その逆「 円周角が等しいならば円 」も成立します。もう少しきちんというと，

4点 A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D について，2点 C , D C,D C , D が直線 A B AB A B について同じ側にあり， ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB = \angle ADB ∠ A CB = ∠ A D B であるならば，4点 A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D は同一円周上にある。

△ A B C \triangle ABC △ A BC の外接円について考える。

• もし， D D D が円の内部にあるなら， 図より ∠ A D B = ∠ A E B + ∠ E B D > ∠ A E B = ∠ A C B \angle ADB=\angle AEB+\angle EBD>\angle AEB =\angle ACB ∠ A D B = ∠ A EB + ∠ EB D > ∠ A EB = ∠ A CB つまり， ∠ A C B < ∠ A D B \angle ACB \lt \angle ADB ∠ A CB < ∠ A D B となる。
• もし， D D D が円の外部にあるなら，同様に ∠ A C B > ∠ A D B \angle ACB \gt \angle ADB ∠ A CB > ∠ A D B となる。

いずれの場合も， ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB = \angle ADB ∠ A CB = ∠ A D B という仮定に矛盾。よって， D D D は円周上にある。つまり4点 A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D は同一円周上にある。

• タレスの定理 ：円に内接する三角形のうち，斜辺の長さが円の直径と等しい三角形は直角三角形となります。これはタレスの定理と呼ばれています。 詳細は→直角三角形の定義とさまざまな公式
• 円に内接する四角形の性質 ：→円に内接する四角形の性質とその証明まとめ